Giải thích các bước giải:

a, (O) có đường kính AB còn (I) có đường kính AO

⇒ 2 đường tròn tiếp xúc trong tại A
b, ΔANO nội tiếp đường tròn đường kính AO

⇒ ΔANO vuông tại N ⇒ ON ⊥ AN

ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB

⇒ ΔAMB vuông tại M ⇒ BM ⊥ AM

Suy ra: ON ║ BM

ΔAMB có O là trung điểm của AB, ON ║ BM

⇒ N là trung điểm của AM ⇒ AN = NM (đpcm)

c, ΔAMO có I là trung điểm của AO, N là trung điểm của AM 

⇒ IN là đường trung bình

⇒ IN ║ OM

Nx là tiếp tuyến của (I) ⇒ Nx ⊥ IN

My là tiếp tuyến của (O) ⇒ My ⊥ OM

Suy ra: Nx ║ My (đpcm)

d, Đặt R = OA = OB thì IA = IO = $\frac{R}{2}$ 

Kẻ NE ⊥ AB (E ∈ AB)

AH = AO + OH = R + $\frac{R}{3}$ = $\frac{4R}{3}$ 

⇒ HB = 2R - $\frac{4R}{3}$ = $\frac{2R}{3}$ 

ΔAMB vuông tại M có MH là đường cao, áp dụng hệ thức lượng ta có:

AH.HB = $MH^2$

⇔ $\frac{4R}{3}$.$\frac{2R}{3}$ = $MH^2$

⇔ MH = $\frac{2\sqrt[]{2}R}{3}$

ΔAMH có N là trung điểm của AM, EN ║ MH (cùng ⊥ AB)

⇒ E là trung điểm của AH

⇒ NE là đường trung bình ⇒ NE = $\frac{1}{2}$AH = $\frac{\sqrt[]{2}R}{3}$

và EB = $\frac{AH}{2}$ + BH = $\frac{2R}{3}$ + $\frac{2R}{3}$ = $\frac{4R}{3}$

ΔNEB vuông tại E, áp dụng Py-ta-go ta có:

NB = $\sqrt[]{NE^2+EB^2}$ = $\sqrt[]{(\frac{\sqrt[]{2}R}{3})^2+(\frac{4R}{3})^2}$ = R$\sqrt[]{2}$ 

Ta thấy: $IN^2 + NB^2$ = $(\frac{R}{2})^2 + (R\sqrt[]{2})^2$ = $\frac{3R}{2}$ = IB

⇒ ΔINB vuông ở N 

⇒ IN ⊥ NB ⇒BN là tiếp tuyến của đường tròn (I) (đpcm)