`4a)` Giải `∆ABC`

`∆ABC` vuông tại $A$ có : $AB=4cm;BC=5cm$

`=>AC^2 =BC^2-AB^2` (từ định lý Pytago)

`<=>AC^2=5^2-4^2=9`

`=>AC=3cm`

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

`=>sinB={AC}/{BC}=3/5`

`=>\hat{B}≈36°52'`

`∆ABC` vuông tại $A$ `=>\hat{B}` và `\hat {C}` phụ nhau.

`=>\hat{C}=90°-\hat{B}≈53°8' `

Vậy `∆ABC` có:

+)`AB=4cm;AC=3cm;BC=5cm`

+)`\hat{A}=90°;\hat{B}≈36°52';\hat{C}≈53°8'`

`b)`

`∆CBD` vuông tại $B$ có $BA$ là đường cao.

`=>1/{BA^2}=1/{BC^2}+1/{BD^2}`

(Hệ thức giữa đường cao và cạnh trong ∆vuông)

`<=>1/{4^2}=1/{5^2}+1/ {BD^2}`

`=>1/{BD^2}=9/{400}`

`=>BD={20}/3`

`∆ABD` vuông tại $A$

`=>BD^2=AD^2+AB^2` (Pytago)

`<=>({20}/3)^2=AD^2+4^2`

`<=>AD^2={256}/9`

`=>AD={16}/3`

Vậy: `AD={16}/3;BD={20}/3`

`c)` $CM:BN.BD=BM.BC$

`∆ABC` vuông tại $A$

`=>AB^2 =BM.BC\quad(1)` (hệ thức giữa cạnh và hình chiếu)

`∆ABD` vuông tại $A$

`=>AB^2 =BN.BD\quad(2)` (hệ thưc giữa cạnh và hình chiếu)

Từ `(1);(2)=>BN.BD=BM.BC`(đpcm)