Đáp án:

${x = k2\pi ;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)}$

Giải thích các bước giải:

ĐK: $\cos x\ne 0$

$\begin{array}{l}
\cos 3x + \dfrac{1}{{\cos x}} = 1 + 4\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\cos \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos 3x\cos x + 1}}{{\cos x}} = 1 + 2\left( {\cos 2x + \cos \dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos 3x\cos x + 1}}{{\cos x}} = 1 + 2\left( {\cos 2x - \dfrac{1}{2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos 3x\cos x + 1}}{{\cos x}} = 2\cos 2x\\
 \Leftrightarrow \cos 3x\cos x + 1 = 2\cos 2x\cos x\\
 \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right)\cos x - 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\cos x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 4{\cos ^4}x - 4{\cos ^3}x - 3{\cos ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\cos x - 1} \right)\left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right)\left( {4{{\cos }^2}x + 4\cos x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {\cos x - 1} \right)^2}{\left( {2\cos x + 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x - 1 = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 1\\
\cos x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có 3 họ nghiệm của phương trình là:

${x = k2\pi ;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)}$