Giải thích các bước giải:

a) Vì C thuộc đường tròn đường kính AI

$\Rightarrow $ AC⊥CI

Vì BE⊥AC

$\Rightarrow $ BE//CI

Tương tự: CF//BI

$\Rightarrow $ Tứ giác BHCI là hình bình hành (đpcm)

b) Vì BHCI là hình bình hành

$\Rightarrow $ HI và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow $ M là trung điểm HI (do M là trung điểm của BC)

Xét tam giác AHI có: M, O là trung điểm của HI, AI

$\Rightarrow $ MO là đường trung bình của tam giác HAI

$\Rightarrow $ MO=$\dfrac{1}{2}$AH (đpcm)

c) Xét tam giác BHD có: $\widehat{HDB}=90^\circ $

$\Rightarrow \widehat{BHD}+\widehat{HBD}=90^\circ $

Tương tự: $\widehat{HAE}+\widehat{AHE}=90^\circ $

Vì $\widehat{BHD}=\widehat{AHE}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{HBD}=\widehat{HAE}$

Xét $\vartriangle $BHD và $\vartriangle $ACD có:

$\Rightarrow \widehat{HDB}=\widehat{ADC}=90^\circ $, $\widehat{HBD}=\widehat{HAE}$ (cmt)

$\Rightarrow $ $\vartriangle $BHD $ \sim $ $\vartriangle $ACD

$\Rightarrow $ $\dfrac{{BD}}{{AD}} = \dfrac{{HD}}{{DC}}$

$\Rightarrow $ DB.DC = AD.HD (đpcm)

d) Vì G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow $ AG=2GM

Gọi AM cắt HO tại G'

Theo định lý Talet với OM//AH ta có:

$\dfrac{{AH}}{{OM}} = \dfrac{{AG'}}{{G'M}}$

$\Rightarrow $ AG'=2G'M

$\Rightarrow $ G≡G'

$\Rightarrow $ H, G, O thẳng hàng (đpcm)