Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+CA^2\to AB^2=\sqrt{BC^2-AC^2}=20$

Mà $AH\perp BC$

$\to AH.BC=AB.AC(=2S_{ABC})$

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=12$

$\to HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=16, HC=BC-HB=9$

Ta có:
$\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac35\to \hat B=\arcsin\dfrac35\approx 36^o$

$\to \hat C=90^o-\hat B\approx 54^o$

c.Ta có $HM\perp AB,HN\perp AC,  AB\perp AC$

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

$\to AH=MN$

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H, HN\perp AC$

$\to AN.AC=AH^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to AN.AC=MN^2$

d.Ta có $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac43$

$\to\dfrac{DB}{DB+DC}=\dfrac4{4+3}$

$\to\dfrac{DB}{BC}=\dfrac47$

$\to DB=\dfrac47BC$

$\to DB=\dfrac{100}{7}$

$\to DH=HB-DB=\dfrac{12}{7}$

$\to AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\dfrac{60\sqrt{2}}{7}$