a) Ta có: $F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $E$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AF$

Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật $O$ là giao điểm của hai đường chéo $\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow \Delta AFC$ có $EO$ là đường trung bình

$\Rightarrow EO\parallel  FC$

$\Rightarrow $ tứ giác $EOCF$ là hình thang.

 

Và $EO=\dfrac{1}{2}FC=IC$ (do $I$ là trung điểm của $CF$)

$EO\parallel IC$

$\Rightarrow $ tứ giác $EOIC$ là hình bình hành.

 

b) $H$ là hình chiếu của $F$ lên $BC$

$\Rightarrow \widehat{FHC}=90^o$

$K$ là hình chiếu của $F$ lên $DC$

$\Rightarrow \widehat{FKC}=90^o$

và $\widehat{KCH}=90^o$

do đó tứ giác $CHFK$ là hình chữ nhật

  

c) Tứ giác $CHFK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow FC\cap HK$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm của $FC\Rightarrow I$ là trung điểm của $HK$

$\Rightarrow H,I,K$ thẳng hàng (*)

 

Ta có: $\Delta FHC\bot H, HI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow IH=IC$

$\Rightarrow\Delta IHC$ cân đỉnh $I\Rightarrow\widehat{IHC}=\widehat{ICH}$

$\Delta OBC$ cân đỉnh $O\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$

mà $\widehat{ICH}=\widehat{OBC}$ (hai góc ở vị trí so le trong do $\widehat{IC//BO}$)

Từ 3 điều trên suy ra $\Rightarrow \widehat{IHC}=\widehat{OCB}$ mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow HI//OC$

Và có $EI//OC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow HI, EI$ trùng nhau nên $H, E, I$ thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow H, I, E, K$ thẳng hàng.