Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BCN,\Delta CBM$ có:

Chung $BC$

$\widehat{NBC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{MCB}$

$BN=\dfrac12AB=\dfrac12AC=CM$

$\to \Delta BCN=\Delta CBM(c.g.c)$

b.Từ câu a $\to \widehat{NCB}=\widehat{MBC}$

$\to \widehat{KCB}=\widehat{KBC}$

$\to \Delta KBC$ cân tại $K$

c.Xét $\Delta MAK,\Delta MCI$ có:

$MA=MC$ vì $M$ là trung điểm $AC$

$\widehat{AMK}=\widehat{CMI}$ (đối đỉnh)

$MK=MI$

$\to \Delta AMK=\Delta CMI(c.g.c)$

$\to \widehat{MAK}=\widehat{MCI}$

$\to AK//CI$

d.Ta có: $BM, CN$ là trung tuyến $\Delta ABC$ và $BM\cap CN=K$

$\to K$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to KB=2KM$

Vì $\Delta KBC$ cân tại $K\to KC=KB=2KM$

Ta có: $BC<KB+KC$(Bất đẳng thức tam giác)

$\to BC<2KM+2KM$

$\to BC<4KM$