a) Xét $ΔABC$ có:

$AD = DB = \dfrac{1}{2}AB \quad (gt)$

$AE = EC = \dfrac{1}{2}AC \quad (gt)$

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình

$\Rightarrow DE //BC;\, DE = \dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow DE//BF;\, DE = \dfrac{1}{2}BC$

Ta lại có:

$BF = FC = \dfrac{1}{2}BC \quad (gt)$

$\Rightarrow DE//BF;\, DE = BF$

$\Rightarrow BDEF$ là hình bình hành

b) Ta có: $DE//BC$ (câu a)

$\Rightarrow DE//HF$

$\Rightarrow EFHD$ là hình thang $(1)$

Xét $ΔABC$ có:

$AD = DB = \dfrac{1}{2}AB \quad (gt)$

$BF = FC = \dfrac{1}{2}BC \quad (gt)$

$\Rightarrow DF$ là đường trung bình

$\Rightarrow DF = \dfrac{1}{2}AC$

Ta lại có:

$E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ của $ΔAHC$

$\Rightarrow EH = \dfrac{1}{2}AC$

Do đó: $DF = EH \quad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow EFHD$ là hình thang cân

c) Ta có:

$BDEF$ là hình bình hành (câu a)

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{DBF} = \widehat{DEF} = 60^o$

mà $EFHD$ là hình thang cân (câu b)

nên $\widehat{DEF} = \widehat{EDH} = 60^o$

$\Rightarrow \widehat{DHF} = \widehat{EFH} = 180^o - 60^o = 120^o$