a) Ta có:

$H'$ đối xứng $H$ qua $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow BC$ là trung trực của $HH'$

$\Rightarrow BH = BH';\, CH = CH'$

Xét $ΔBHC$ và $ΔBH'C$ có:

$BH = BH' \quad (cmt)$

$CH = CH' \quad (cmt)$

$BC:$ cạnh chung

Do đó $ΔBHC = ΔBH'C \, (c.c.c)$

b) Gọi $BC\cap HH' = \left\{D\right\}$

$\Rightarrow HD = DH' = \dfrac{1}{2}HH'$

Xét $ΔKHH'$ có:

$HI = IK = \dfrac{1}{2}HK \quad (gt)$

$HD = DH' = \dfrac{1}{2}HH' \quad (gt)$

$\Rightarrow DI$ là đường trung bình

$\Rightarrow DI//KH'$

$\Rightarrow BC//KH'$

$\Rightarrow BCKH'$ là hình thang $(1)$

Xét tứ giác $BHCK$ có:

$BI = IC = \dfrac{1}{2}BC \quad (gt)$

$HI = IK = \dfrac{1}{2}HK \quad (gt)$

$HK\cap BC = \left\{I\right\}$

Do đó $BHCK$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow CH = BK$

mà $CH = CH'$

nên $BK = CH'\quad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow BH'KC$ là hình thang cân