a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}=225$

$\to BC=15cm$

 

b)

Vì $AD$ là phân giác của $\Delta ABC$

Nên $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$

$\to \dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{15}{7}$

Với $\dfrac{DB}{3}=\dfrac{15}{7}\to DB=3\cdot \dfrac{15}{7}=\dfrac{45}{7}cm$

Với $\dfrac{DC}{4}=\dfrac{15}{7}\to DC=4\cdot \dfrac{15}{7}=\dfrac{60}{7}cm$

 

c)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDC$, ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DEC}=90{}^\circ $

$\widehat{C}$ là góc chung

Nên $\Delta ABC\backsim\Delta EDC\left( g.g \right)$

 

d)

Vì $\Delta ABC\backsim\Delta EDC$

Nên $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{DC}$

$\to DE=\dfrac{AB.DC}{BC}=\dfrac{9\cdot \dfrac{60}{7}}{15}=\dfrac{36}{7}cm$

 

e)

Vẽ đường cao $AH$

Ta có:

${{S}_{\Delta ABD}}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BD$

${{S}_{\Delta ADC}}=\dfrac{1}{2}AH\cdot CD$

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta ABD}}}{{{S}_{\Delta ACD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH\cdot BD}{\dfrac{1}{2}AH\cdot CD}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}$