Đáp án:

a) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật

b) $\triangle AKI\backsim\triangle ABC$

c) $S_{\triangle ABC}=39cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác AIHK:

$\widehat{IAK}=90^o$ (gt)

$\widehat{AIH}=90^o$ (gt)

$\widehat{AKH}=90^o$ (gt)

$\to$ Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AIH$:

$\widehat{AHB}=\widehat{AIH}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{BAH}$: chung

$\to\triangle AHB\backsim\triangle AIH$ (g.g)

$\to\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AI}{AH}\\\to AI.AB=AH^2$

Chứng minh tương tự

$\to\triangle AHC\backsim\triangle AKH$

$\to AK.AC=AH^2$

$\to AI.AB=AK.AC\\\to\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$

Xét $\triangle AKI$ và $\triangle ABC$:

$\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$ (cmt)

$\widehat{IAK}$: chung

$\to\triangle AKI\backsim\triangle ABC$ (c.g.c)

c)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$\widehat{ABC}+\widehat{C}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$\widehat{ABH}+\widehat{HAB}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{C}=\widehat{HAB}$

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle CHA$:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{HAB}=\widehat{HCA}$ (cmt)

$\to\triangle AHB\backsim\triangle CHA$ (g.g)

$\to\dfrac{HA}{HB}=\dfrac{HC}{HA}\\\to HA^2=HB.HC\\\to HA=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{4.9}=6(cm)$

$\to S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.6.13=39(cm^2)$