Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$ABCD$ là hình bình hành

$ \Rightarrow AB//CD;AB = CD$

Mà $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$

$ \Rightarrow AM = MB = \dfrac{1}{2}AB;CN = ND = \dfrac{1}{2}CD$

$ \Rightarrow AM = ND;AM//ND$

Xét tứ giác $AMND$ có: $ \Rightarrow AM = ND;AM//ND$

$\to AMND$ là hình bình hành.

b) Ta có:

Tương tự câu a ta có: $AM=CN;AM//CN$

$\to AMCN$ là hình bình hành.

c) Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $AC$

Ta có:

$ABCD$ là hình bình hành 

$\to O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Lại có:

$AMCN$ là hình bình hành

$\to AC,MN$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà $O$ là trung điểm $AC$

$\to O$ là trung điểm của $MN$

Như vậy: $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$.

d) Ta có:

$AMND$ là hình bình hành.

Suy ra: $AMND$ là hình chữ nhật

$ \Leftrightarrow $$AMND$ có $1$ góc vuông

$ \Leftrightarrow \widehat {MAD} = {90^0}$

$ \Leftrightarrow $ $ABCD$ là hình chữ nhật.

Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật thì $AMND$ là hình chữ nhật.