Giải thích các bước giải:

M là trung điểm của AB ⇒ AM = MB = $\frac{AB}{2}$ 

N là trung điểm của AC ⇒ AN = NC = $\frac{AC}{2}$ 

Mà AB = AC ⇒ AM = MB = AN = NC

a, Xét ΔANB và ΔAMC có:

Góc A chung; AB = AC (giả thiết); AN = AM (chứng minh trên)

⇒ ΔANB = ΔAMC (c.g.c)

⇒ BN = CM (đpcm)

b, ΔANB = ΔAMC (câu a) ⇒ $\widehat{ABN}$ = $\widehat{ACM}$

hay $\widehat{MBI}$ = $\widehat{NCI}$

ΔBMI và ΔCNI có: 

$\widehat{MBI}$ = $\widehat{NCI}$ (chứng minh trên);

$\widehat{BIM}$ = $\widehat{CIN}$ (đối đỉnh);

BN = CM (câu a)

⇒ ΔBMI = ΔCNI (đpcm)

c, ΔBMI = ΔCNI (câu b) ⇒ BI = CI

Xét ΔAIB và ΔAIC có:

AI chung; BI = CI; AB = AC

⇒ ΔAIB = ΔAIC ⇒ $\widehat{BIA}$ = $\widehat{CIA}$

⇒ AI là phân giác của góc A (đpcm)

d, Gọi H = AI ∩ BC

Xét ΔABH và ΔACH có: 

AH chung; $\widehat{BIH}$ = $\widehat{CIH}$; AB = AC

⇒ ΔABH = ΔACH (c.g.c) 

⇒ $\widehat{BHI}$ = $\widehat{CHI}$ mà 2 góc này bù nhau

⇒ $\widehat{BHI}$ = $\widehat{CHI}$ = 90 ⇒ AI⊥BC (đpcm)