1)

Theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{BDM}$ và $\widehat{ACB}=\widehat{CDM}$

$\to \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=\widehat{BDM}+\widehat{CDM}$

$\to 90{}^\circ =\widehat{BDC}$

$\to \Delta BDC$ vuông tại $D$

 

2)

Tứ giác $ABEC$ có $\begin{cases}\widehat A=\widehat B=\widehat C=90{}^\circ\\AB=AC\end{cases}$

Nên $ABEC$ là hình vuông

Do đó $\widehat{{{O}_{1}}BM}=45{}^\circ $ và $\widehat{{{O}_{2}}CM}=45{}^\circ $

$\to \widehat{{{O}_{1}}MB}=45{}^\circ $ và $\widehat{{{O}_{2}}MC}=45{}^\circ $

$\to \widehat{{{O}_{1}}MB}+\widehat{{{O}_{2}}MC}=90{}^\circ $

$\to \widehat{{{O}_{1}}M{{O}_{2}}}=90{}^\circ $

Ta có $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ cắt nhau tại $M$ và $D$

Nên ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ là đường trung trực của $MD$

Do đó $\widehat{{{O}_{1}}D{{O}_{2}}}=\widehat{{{O}_{1}}M{{O}_{2}}}=90{}^\circ $

Vậy ${{O}_{1}}D$ là tiếp tuyến của $\left( {{O}_{2}} \right)$

 

3)

Có $\widehat{BAC}=\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

Nên 5 điểm $A,B,D,E,C$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $BC$

 

4)

Với $\widehat{{{O}_{1}}BM}=\widehat{{{O}_{1}}MB}=45{}^\circ $

Thì $\Delta {{O}_{1}}BM$ vuông cân tại ${{O}_{1}}\to {{O}_{1}}M=\dfrac{BM}{\sqrt{2}}$

Với $\widehat{{{O}_{2}}CM}=\widehat{{{O}_{2}}MC}=45{}^\circ $

Thì $\Delta {{O}_{2}}CM$ vuông cân tại ${{O}_{2}}\to {{O}_{2}}M=\dfrac{CM}{\sqrt{2}}$

Theo định lý Pytago

Ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}={{O}_{1}}{{M}^{2}}+{{O}_{2}}{{M}^{2}}$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}={{\left( \dfrac{BM}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{CM}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}=\dfrac{B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}}{2}$

 

Ta luôn có ${{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$

$\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab$

$\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức trên với $a=BM$ và $b=CM$

Vậy ${{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}=\dfrac{B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}}{2}$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}=\dfrac{2\left( B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}} \right)}{4}$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}\ge \dfrac{{{\left( BM+CM \right)}^{2}}}{4}$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}\ge \dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}\ge \dfrac{BC}{2}\,\,\,\left( const \right)$

$\to {{O}_{1}}{{O}_{2}}$ ngắn nhất là bằng $\dfrac{BC}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $BM=CM\Leftrightarrow M$ là trung điểm $BC$