Giải thích các bước giải:

a.Ta có $D,E,F$ là trung điểm $BC, AB,AC$

$\to DE, DF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to DE//AC, DF//AB$

$\to AEDF$ là hình bình hành

Mà $\hat A=90^o\to AEDF$ là hình chữ nhật

b.Ta có $DF//AB$ 

$\to \dfrac{CF}{CA}=\dfrac{FD}{AB}=\dfrac{2MF}{2AE}=\dfrac{FM}{AE}$

Mà $\widehat{MFC}=\widehat{EAC}$ do $DF//AB$

$\to\Delta CFM\sim\Delta CAE(c.g.c)$

$\to \widehat{FCM}=\widehat{ACE}$

$\to C,M,E$ thẳng hàng

c.Ta có $AEDF$ là hình chữ nhật, $AD\cap EF=O\to O$ là trung điểm $AD, EF$

$\to OA=OD=OE=OF=\dfrac12AD=\dfrac12EF(1)$

Vì $AH\perp BC\to\Delta AHD$ vuông tại $H$

Do $O$ là trung điểm $AD$

$\to OH=OA=OD=\dfrac12AD\to đpcm$

Từ $(1)\to OH=OE=OF=\dfrac12EF$

$\to\Delta EHF$ vuông tại $H$

$\to \widehat{EHF}=90^o$

d.Ta có $O$ là trung điểm $AD$

Để $OH//AB\to H$ là trung điểm $BD$

$\to AH\perp BD=H$ là trung điểm $BD$

$\to AH$ là trung trực $BD$

$\to AB=AD$

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A, D$ là trung điểm $BC\to DA=DB=DC=\dfrac12BC$

$\to AB=BD=DA$

$\to\Delta ABD$ đều

$\to \hat B=60^o$