`a.`

Xét $\Delta ABD$ có `:`

 $E$ là trung điểm của `AB`

 `H` là trung điểm của `AD`

$\Rightarrow HE$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow HE//BD$ và $HE=\dfrac{BD}2$ `(1)`

Xét $\Delta BCD$ có

 $F$ là trung điểm cạnh $BC$

 `G` là trung điểm cạnh $CD$

$\Rightarrow FG$ là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow FG//BD$ và $FG=\dfrac{BD}2$ `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>` Tứ giác $EFGH$ có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là `:`

`1.` $HE//FG$ (vì cùng song song `DB`)

`2.` $HE=FG$ $(=\dfrac{BD}2)$

$\Rightarrow$ tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.

b)

Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật , thì `:`

`1.` $EG$ là đường trung bình của ABCD 

`=>` $EG//AD$

`2.` $HF$ là đường trung bình của ABCD nên $HF//AB$

mà $AD\bot AB\Rightarrow EG\bot HF$  

`=>` `EFGH có `2`  đường chéo vương góc với nhau 

`->` `EFGH` là hình thôi

a.Vì ABCD là hình bình hành (gt)

⇒AB=CD (2 cạnh đối bằng nhau)

 BC=DA (2 cạnh đối bằng nhau)

Lại có: E, F ,G , H lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD , DA (gt)

⇒AE=EB=CG=GD

BF=FC=DH=HA

Xét ΔHAE và ΔFCG có:

HA=FC (cmt)

HAE=FCG (2 góc đối bằng nhau)

AE=CG (cmt)

⇒ΔHAE=ΔFCG (c.g.c)

⇒HE=FG (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔFBE và ΔHDG có:

BE=DG (cmt)

FBE=HDG (2 góc đối bằng nhau)

FB=HD (cmt)

⇒ΔFBE=ΔHDG (c.g.c)

⇒FE=HD (2) (2 cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) ⇒ EFGH là hình bình hành.

b.-Vì ABCD là hình chữ nhật 

⇒A=B (=90 độ)

Xét ΔHAE và ΔFBE có:

AE=BE (cm câu a)

HAE=FBE (vì A=B)

HA=FB (cm câu a)

⇒ΔHAE=ΔFBE (c.g.c)

⇒HE=FE (3) (2 cạnh tương ứng)

Từ (1), (2) và (3) ⇒HE=FG=FE=HD

⇒Tứ giác EFGH là hình thoi

Vậy khi ABCD là hình chữ nhật thì EFGH là hình thoi.

Vì ABCD là thoi

⇒AB=DC (4)

Xét tứ giác AEGD có:

AE=GD (cmt)

AE//GD (do AB//DC)

⇒Tứ giác AEGD là hinh bình hành

⇒EG=AD (5) (hai cạnh đối bằng nhau)

Xét tứ giác DHFC có:

DH=FC (cmt)

DH//FC (do DA//BC)

⇒Tứ giác DHFC là hình bình hành

⇒HF=DC (6) (hai cạnh đối bằng nhau)

Từ (4), (5) và (6) ⇒EG=HF

Mà EFGH là hình bình hành (cmt)

⇒ Hình bình hành EFGH là hình thoi

Vậy khi ABCD là hình thoi thì EFGH là hình thoi