$#ProTopTop$

Đáp án `a) AC = AK`

`AE` $\bot$ $CK$ 

`b) KA = KB`

`c) EB > AC`

 $d) BD ; EK ; KE$ cùng đi qua một điểm

Các bước giải  

`a)` Xét $\triangle$ $AKE$ và $\triangle$ $ACE$ ta có:

$\widehat{AKE}$ $=$ $\widehat{ACE}$ $= 90^o ($ vì $EK$ $\bot$ $AB ;$ $\triangle$ $ABC$ vuông tại $C )$

$AE$ chung

$\widehat{CAE}$ $=$ $\widehat{KAE}$ $($ vì $AE$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $AKE$ $=$ $\triangle$ $ACE ( ch - gn )$

`=> AC = AK ( 2` cạnh tương ứng $)$

Gọi $I$ là giao điểm của $CK$ và $AE$

Xét $\triangle$ $IAC$ và $\triangle$ $IAK$ ta có :

$AI$ chung

$\widehat{CAI}$ $=$ $\widehat{KAI}$ $( cmt )$

$AC = AK ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $IAC$ $=$ $\triangle$ $IAK ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{I1}$ $=$ $\widehat{I2}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $\widehat{I1}$ $+$ $\widehat{I2}$ $= 180^o ( 2$ góc kề bù $)$

`=>` $\widehat{I1}$ $=$ $\widehat{I2}$ $= 90^o$

`=> AI` $\bot$ $CK$ 

hay $AE$ $\bot$ $CK$

`b)` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $C )$ ta có :

$\widehat{CAB}$ $+$ $\widehat{CBA}$ $= 90^o ( 2$ góc phụ nhau $)$

Mà $\widehat{CAB}$ $= 60^o ( gt )$

`=>` $\widehat{CBA}$ $= 30^o (1)$

Ta có : $\widehat{CAE}$ $=$ $\widehat{KAE}$ $=$ $\widehat{CAB}$ $($ vì $AE$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ $)$

`=>` $\widehat{CAE}$ $=$ $\widehat{KAE}$ $=$ `(60^o)/2 = 30^o (2)`

Từ $(1) ; (2)$

`=>` $\widehat{KAE}$ $=$ $\widehat{CBA}$ $( =30^o )$

`=>` $\triangle$ $EAB$ cân $( dhnb )$

Mà $EK$ là đường cao $($ vì $EK$ $\bot$ $AB )$

`=> EK` đồng thời là đường trung tuyến của $\triangle$ $EAB$

`=> KA = KB`

`c)` Xét $\triangle$ $AKE$ và $\triangle$ $BKE$ ta có :

$\widehat{AKE}$ $=$ $\widehat{EKB}$ $= 90^o ($ vì $EK$ $\bot$ $AB )$

$EK$ chung 

$KA = KB ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $AKE$ $=$ $\triangle$ $BKE ( cgv - cgv )$ hoặc $( c - g - c )$

`=>` $AE = EB ( 2$ cạnh tương ứng $)$

Xét $\triangle$ $ACE$ vuông tại $E$ ta có :

$AE > AC ($ vì trong $1$ $\triangle$ vuông cạnh huyền huyền luôn luôn là cạnh lớn nhất $)$

Mà $AE = EB ( cmt )$

`=> EB > AC`

 $d) BD ; EK ; KE$ luôn luôn đồng quy tại $1$ điểm $($ tính chất $3$ đường cao của $\triangle$ $)$ `=>` $BD ; EK ; KE$ cùng đi qua tại $1$ điểm