Giải thích các bước giải:

 a. Vì O là trung điểm AC, DE

-> AECD là hình bình hành

mà góc ADC = 90 

-> AECD là hình chữ nhật (Đpcm)

b. Tam giác ABC cân tại A mà AD là đường cao -> AD là đường trung tuyến

-> D là trung điểm BC

AECD là hình chữ nhật -> AE=CD mà CD=BD

-> AE=BD mà AE//BD (vì AECD là hình chữ nhật)

-> AEDB là hình bình hành

mà I là trung điểm AD

-> I là trung điểm BE (đpcm)

c. Vì tam giác ADC có đường trung tuyến DC

-> DO=OA

-> tam giác OAD cân tại O mà OI là đường trung tuyến -> OI là đường cao

Vì O,I là trung điểm AC,AD -> OI là đường trung bình

-> OI=$\frac{DC}{2}$ =$\frac{BC}{4}$ =$\frac{12}{4}$ =3cm

BD=$\frac{BC}{2}$=6cm

Xét tam giác ABD vuông tại D

-> AD=$\sqrt[]{AB^2-BD^2}$ =8cm

\({S_{OAD}} = \frac{1}{2}.OI.AD = \frac{1}{2}.3.8 = 12c{m^2}\)

d. Vì AK//DE -> AKDE là hình thang

Giả sử AKDE là hình thang cân

-> Góc AED= góc KDE

mà góc AED= góc EDC (2 góc so le trong)

-> góc KDE= góc EDC

Vì IK // BD mà I là trung điểm AD -> K là trung điểm AB

Tam giác ABD vuông tại D có đường trung tuyến DK -> DK=DB -> tam giác DBK cân

-> góc KBD= góc KDB mà góc KBD= góc ODC 

-> góc KDB=góc ODC mà góc ODC = góc KDO 

-> góc KDB= góc ODC= góc KDO 

mà góc KDB+ góc ODC + góc KDO =180

-> góc ODC=60 

-> góc KBD =60

mà tam giác ABC cân 

-> tam giác ABC đều 

Vậy để AKDE là hình thang cân thì tam giác ABC đều