a/ Tính AH và diện tích tam giác HKE.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}}\\\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{{4^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}}\\\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{9}\\\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{25}}{{144}}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{12}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lí pytago trong tam giác AHD có:

\(\begin{array}{l}HD = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)}^2}}  = \dfrac{9}{5}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

K là trung điểm của AH \( \Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{6}{5}\,\,\left( {cm} \right)\).

E là trung điểm của HD \( \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}HD = \dfrac{9}{{10}}\,\,\left( {cm} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{HKE}} = \dfrac{1}{2}HK.HE\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{6}{5}.\dfrac{9}{{10}} = \dfrac{{27}}{{50}}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\)

b/ Chứng minh góc ADB = góc BAH

Tam giác AHD vuông tại H

\( \Rightarrow \angle ADB + \angle DAH = {90^0}\)

Lại có \(\angle BAH + \angle DAH = \angle BAD = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle ADB = \angle BAH\).

c/ Chứng minh tứ giác KBIE là hình bình hành

Vì KE là đường trung bình của tam giác AHD

\( \Rightarrow KE\parallel AD\) và \(KE = \dfrac{1}{2}AD\).

\( \Rightarrow KE\parallel BI\) và \(KE = BI\)

\( \Rightarrow KBIE\) là hình bình hành (dhnb).

d/ Chứng minh góc AEI = 90 độ

Vì KBIE là hình bình hành nên BK // EI  (1) và EK // BI

Lại có \(BI \bot AB \Rightarrow EK \bot AB\).

\( \Rightarrow EK\) là đường cao của tam giác AEB.

Tam giác AEB có hai đường cao EK và AH cắt nhau tại K

\( \Rightarrow K\) là trực tâm tam giác AEB

\( \Rightarrow BK\) cũng là đường cao của tam giác AEB nên \(BK \bot AE\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AE \bot EI\) hay \(\angle AEI = {90^0}\).