$\\$

`a,`

Tứ giác `AMIN` có :

`hat{A}=90^o` (gt)

`hat{AMI}=90^o(IM\bot AB)`

`hat{ANI}=90^o(IN\bot AC)`

`<=> AMIN` là hình chữ nhật

`b,`

`\triangle ABC` vuông tại `A` có `AI` là đường trung tuyến

`=>AI=1/2 BC` mà `CI=1/2 BC` (gt)

`=>AI=CI`

`=>\triangle ACI` cân tại `I`

Mà `IN` là đường cao (gt)

`=>IN` là đường trung tuyến hay `N` là trung điểm của `AC`

Tứ giác `ADCI` có :

`N` là trung điểm của `AC, DI` (cmt, gt)

`<=>ADCI` là hình bình hành

Mà `AC\bot DI` (gt)

`<=>ADCI` là hình thoi

`c,`

Gọi `E` là trung điểm của `CK`

`\triangle BKC` có :

`E,I` là trung điểm của `CK, BC` (cách gọi, gt)

`=>EI` là đường trung bình của `\triangle BKC`

`=>` $EI//BK$ hay $EI//KN$

`\triangle DIE` có :

$EI//KN$ (cmt)

`N` là trung điểm của `DI` (gt)

`=>K` là trung điểm của `DE`

`=>DK=KE` mà `KE=CE` (cách gọi)

`=>DK=KE=CE`

Mà `DK+KE+CE=DC`

`=> DK=1/3 DC`

`=> (DK)/(DC)=1/3`

 

~ gửi bạn ~

--

`a)`

Xét tứ giác `ANIM` có: `hat(AMI) = 90^0, hat(ANI) = 90^0, hat(MAN) = 90^0`

`⇒` Tứ giác `ANIM` là hình chữ nhật `(`có `3` góc vuông`) `

-------------

`b)`

`I` là trung điểm của `BC`

`=> AI` là đường trung tuyến của `△` vuông `ABC`

`⇒ AI = IC = {BC}/2` `(1)`

`=> △AIC` cân có `IN` là đường cao nên đồng thời là trung tuyến hay `NA = NC` `(2)`

Có: `NI = NI` `(`tính chất đối xứng`)` `(3)`

`(1)(2)(3) -> ADIC` là hình thoi. 

-------------

`c)`

Qua `I` kẻ đường thẳng song song với `BK` cắt `CD` tại `E`

Có: `I` là trung điểm của `BC;`$ IE // BK$

`⇒ E` là trung điểm của `CK` hay `EK = EC` `(4)`

Mặt khác `N` là trung điểm của `ID` và $NK // IE$ $( IE // BK)$

`⇒ K` là trung điểm của `DE` hay `EK = DK` `(5)`

`(4)(5) -> {DK}/{DC} = 1/3`