Lời giải:

Giả sử $\sqrt[]{a}$ là một số hữu tỉ và nó có thể viết dưới dạng $\sqrt[]{a}=$  `m/n` `[y ne 0 ,(m:n)=1]`

Suy ra: `m^2 = a*n^2  (1)` . Do đó `m^2 vdots a`, ta lại có `a` là số nguyên tố nên `m \vdots a (2)`

Đặt `m=a*k ( n ∈ NN*)` Thay vào biểu thức `(1)`

`a*k^2 =  a*n^2` Nên `a*k ^2` luôn bằng `a*n^2`

`=> a*n^2 \vdots a `

Do `(m:n)=1` nên `n^2 \vdots a`  do đó `n \vdots a` 

Từ `(2)` và `(3)=>` `m` và `n` cùng chia hết cho `a` trái với `(m:n)=1`

Như vậy $\sqrt[]{a}$ không là số hữu tỉ `=>` Vậy $\sqrt[]{a}$ phải là số vô tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm).

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Giả sử √a là số hữu tỉ, có nghĩa là √a=x/y tối giản (x,y ∈ N, y≠0; x,y=1).

Ta có: √a^2=(x/y)^2

<=> a=x^2/y^2

  => a.y^2=x^2

Vì x^2 là một số chính phương nên a.y^2 được viết dưới dạng tích của các số lũy thừa bằng 2.

Mà x,y là nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả sử). 

=> √a là số vô tỉ.