Giải thích các bước giải:

a, ΔABD vuông tại A, Áp dụng Py-ta-go ta có:

$BD^{2}$ = $AB^{2}$ + $AD^{2}$ = $12^{2}$ + $9^{2}$ = 225

⇒ BD = 15cm

$S_{ABD}$ = $\frac{1}{2}$.AD.AB = $\frac{1}{2}$.9.12 = 54$cm^2$

b, O là giao 2 đường chéo hcn ABCD
⇒ OA = OB = OC = OD

E và F lần lượt theo thứ tự là trung điểm của OD và OB

⇒ OE = OF = EB = DF

ΔAOE và ΔCOF có:

OA = OC; $\widehat{AOE}$ = $\widehat{COF}$ (đối đỉnh); OE = OF

⇒ ΔAOE = ΔCOF (c.g.c)

⇒ $\widehat{OAE}$ = $\widehat{OCF}$

⇒ AE ║ CF (đpcm)

c, OE = OF = EB = DF (câu b)

$\frac{BE}{BF}$ = $\frac{1}{3}$ 

ΔBCF có EK ║ CF ⇒ $\frac{BE}{BF}$ = $\frac{BK}{BC}$ = $\frac{1}{3}$ 

⇒ $\frac{CK}{BC}$ = $\frac{2}{3}$ 

⇒ BK = $\frac{1}{2}$KC (đpcm)

d, ΔCKA có H là trung điểm của CK, O là trung điểm của CA

⇒ OH là đường trung bình

⇒ OH ║ AK

⇒ tứ giác AOHK là hình thang

Có:

*** $AK^{2}$ = $AB^{2}$ + $BK^{2}$ = $12^{2}$ + $3^{2}$ = 153

⇒ AK = 3$\sqrt[]{17}$cm

*** AO = $\frac{1}{2}$.BD = 7,5cm

***OH = $\frac{1}{2}$.AK = $\frac{3}{2}$.$\sqrt[]{17}$cm;

*** HK = $\frac{1}{3}$.BC = 3cm

⇒ Chu vi AOHK là: AK + AO + OH + HK = $\frac{21+9\sqrt[]{17}}{2}$cm