Giải thích các bước giải:

a, D là điểm đối xứng của A qua I ⇒ I là trung điểm của AD (1)

  ΔABC có AI là đường trung tuyến của BC ⇒ I là trung điểm của BC  (2)

Từ (1) ; (2) và I là giao của hai đường chéo AD, BC ⇒  Tứ giác ACDB là hình bình hành (đpcm)

b, ΔABC có 2 đường cao BF và CE cắt nhau tại H ⇒ H là trực tâm của ΔABC

  ⇒ AH ⊥ BC(đpcm)

c, Tứ giác ACDB là hình bình hành(câu a) ⇒ AC ║ BD mà CK ⊥ BD ⇒ AC ⊥ CK 

        ⇒ $\widehat{FCK}$ = $90^{o}$ (3)

Ta có: BF ⊥ AC ⇒ $\widehat{BFC}$ = $90^{o}$ (4)

          CK ⊥ BD ⇒ $\widehat{BKC}$ = $90^{o}$ (5)

Từ (3); (4);(5) ⇒ Tứ giác BFCK là hình chữ nhật (đpcm) mà I là trung điểm của đường chéo BC

  ⇒ I là trung điểm của FK ⇒ EI là đường trung tuyến của ΔEFK (6)

ΔBEC vuông tại E có EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

      ⇒ EI = $\frac{1}{2}$. BC mà BC = FK (vì BFCK là hình chữ nhật) ⇒ EI = $\frac{1}{2}$. FK (7)

Từ (6) và (7) ⇒ Δ EFK vuông tại E ⇒ KE ⊥ EF (đpcm)

d, Gọi G là trung điểm của EF. Nối G với I 

ΔEFK có: G là trung điểm của EF và I là trung điểm của FK

  ⇒ GI là đường trung bình của ΔEFK ⇒ GI ║ KE mà KE ⊥ EF(câu c)

         ⇒ GI ⊥ EF mà BM, CN ⊥ EF ( vì  M và N lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng EF)

  ⇒ GI ║ BM ║ CN

Tứ giác BMNC có: BM ║ NC (cùng ⊥ EF)

      ⇒ Tứ giác BMNC là hình thang mà GI ║ BM ║ CN và I là trung điểm BC

    ⇒ G là trung điểm của MN ⇒ GM = GN mà GE = GF ( vì là trung điểm của EF)

    ⇒ GM - GE = GN - GF ⇒ ME = NF (đpcm)