Đáp án:

\(\begin{align}
  & a)R=11\Omega ;{{P}_{ng}}=12\text{W} \\ 
 & b)R=1\Omega ;{{P}_{\text{max}}}=36\text{W} \\ 
\end{align}\)

Giải thích các bước giải:

a) Để công suất mạch ngoài 11W thì: 
\(\begin{align}
  & P={{I}^{2}}.R=\dfrac{{{E}^{2}}}{{{(R+r)}^{2}}}.R=\dfrac{{{E}^{2}}}{(R+2r+\dfrac{{{r}^{2}}}{R})} \\ 
 & \Rightarrow 11=\dfrac{{{12}^{2}}}{R+2.1+\dfrac{1}{R}}\Rightarrow R=11\Omega  \\ 
\end{align}\)

Công suất của nguồn: 
\({{P}_{ng}}={{I}^{2}}.r=\dfrac{{{12}^{2}}}{(11+1)}.1=12\text{W}\)

b)Công suất trên R lớn nhất khi: 
\(P{}_{R}=\dfrac{{{E}^{2}}}{R+2r+\dfrac{{{r}^{2}}}{R}}\Rightarrow {{P}_{Rmax}}\Leftrightarrow {{\left( R+2r+\dfrac{{{r}^{2}}}{R} \right)}_{\min }}\)

Theo định lý coossi: 
\(R+2r+\dfrac{{{r}^{2}}}{R}\ge 2r+2\sqrt{R.\dfrac{{{r}^{2}}}{R}}=4\)

Công suất lớn nhất khi đâu "=" xảy ra: 
\(R=\dfrac{{{r}^{2}}}{R}\Rightarrow r=R=1\Omega \)

Công suất lớn nhất: 
\({{P}_{\text{ma}x}}=\dfrac{{{12}^{2}}}{4}=36\text{W}\)