Với 2 dãy đơn điệu cùng chiều: \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} a_1\ge a_2\ge ...\ge a_n\\b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n \end{cases}\\\begin{cases} a_1\le a_2\le ...\le a_n\\b_1\le b_2\le ...\le b_n \end{cases}\end{array} \right.\) 

Thì: $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\ge \dfrac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

$\to n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\ge (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

Với 2 dãy đơn điệu ngược chiều: \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} a_1\ge a_2\ge ...\ge a_n\\b_1\le b_2\le ...\le b_n \end{cases}\\\begin{cases} a_1\le a_2\le ...\le a_n\\b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n \end{cases}\end{array} \right.\) 

Thì: $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\le \dfrac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

$\to n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\le (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$

Chứng minh như sau:

Mình chứng minh với 2 dãy đơn điệu cùng chiều còn ngược chiều chứng minh tương tự.

Cần chứng minh: $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\ge (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)(*)$

Với $n=1,n=2\to (*)$ đúng.

Giả sử $(*)$ đúng với $n=k(k\in N)$

$(*)\to k(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k)\ge (a_1+a_2+...+a_k)(b_1+b_2+...+b_k)$

Ta chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$

$(*)\to (k+1)(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1}) \ge (a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1})(b_1+b_2+...+b_k +b_{k+1})$

Xét vế trái:

$= (k+1)(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k)+(k+1)a_{k+1}b_{k+1}$

$= k(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k)+a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k + ka_{k+1}b_{k_1} +a_{k+1}b_{k+1}$

Xét vế phải:

$= (a_1+a_2+...+a_k)(b_1+b_2+...+b_k)+a_{k+1}(b_1+b_2+...+b_k) +b_{k+1}(a_1+a_2+...+a_k)+a_{k+1}b_{k+1}$

Xét hiệu:

$[k(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k)+a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k + ka_{k+1}b_{k_1} +a_{k+1}b_{k+1}]-[(a_1+a_2+...+a_k)(b_1+b_2+...+b_k)+a_{k+1}(b_1+b_2+...+b_k) +b_{k+1}(a_1+a_2+...+a_k)+a_{k+1}b_{k+1}]$

$= [k(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k) -(a_1+a_2+...+a_k)(b_1+b_2+...+b_k)] + (a_1b_1+a_{k+1}b_{k+1}-a_{k+1}b_1-b_{k+1}a_1)+...+(a_kb_k +a_{k+1}b_{k+1}-a_{k+1}b_k -b_{k+1}a_k)\\= [k(a_1b_1+a_2b_2+...+a_kb_k) -(a_1+a_2+...+a_k)(b_1+b_2+...+b_k)] + (a_1-a_{k+1})(b_1-b_{k+1})+...+(a_k-a_{k+1})(b_k-b_{k+1})$(Hiển nhiên đúng theo giả thiết)

Do đó $(*)$ được chứng minh theo giả thiết quy nạp.

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left[ \begin{array}{l}a_1=a_2=...=a_n\\b_1=b_2=...=b_n\end{array} \right.\)