Đáp án:

 $988$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\overline {abc}  = {c^5} + 20\left( {a + b + c} \right)(1)$

Hiển nhiên

$\begin{array}{l}
\overline {abc}  \le 999\\
 \Rightarrow {c^5} \le 999\\
 \Rightarrow c \le \sqrt[5]{{999}}\\
 \Rightarrow c \in \left\{ {1;2;3} \right\}
\end{array}$

+) TH1: Nếu $c=1$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overline {ab1}  = 1 + 20\left( {a + b + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 100a + 10b + 1 = 20a + 20b + 21\\
 \Leftrightarrow 80a - 10b = 20\\
 \Leftrightarrow 8a - b = 2\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 6
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to $ Số $161$ thỏa mãn.

+)TH2: Nếu $c=2$

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overline {ab2}  = 32 + 20\left( {a + b + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow 100a + 10b + 2 = 20a + 20b + 72\\
 \Leftrightarrow 80a - 10b = 70\\
 \Leftrightarrow 8a - b = 7\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to $ Số $112$ và $292$ thỏa mãn.

+) TH3: Nếu $c=3$ 

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overline {ab3}  = 243 + 20\left( {a + b + 3} \right)\\
 \Leftrightarrow 100a + 10b + 3 = 20a + 20b + 303\\
 \Leftrightarrow 80a - 10b = 300\\
 \Leftrightarrow 8a - b = 30\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = 2
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to $ Số $423$ thỏa mãn.

Vậy tổng các sô thỏa mãn là: $161+112+292+423=988$