Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Max:

Ta có:

$abc \geq 0 ⇒9abc \leq 24abc \leq 4(ab)^2+4(bc)^2+4(ca)^2+24abc$

$⇒9abc \leq 4(ab+bc+ca)^2$

$⇒3\sqrt{abc} \leq 2(ab+bc+ca)$

$⇒P \leq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=9$

$P_{max}=9$ khi $(a;b;c)=(0;0;3)$ và các hoán vị

Min:

$3=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} ⇒abc \leq 1 ⇒0 \leq abc \leq 1$

$⇒3\sqrt{abc} \geq 3abc \geq \dfrac{3}{2}abc$

$⇒P \geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{2}abc$ 

Áp dụng BĐT Schur:

$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

$⇔abc \geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)$

$⇔abc \geq -8abc +12(ab+bc+ca) -18(a+b+c)+27$

$⇔9abc \geq 12(ab+bc+ca) -27$

$⇔\dfrac{3}{2}abc \geq 2(ab+bc+ca) -\dfrac{9}{2}$

$⇒P \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) -\dfrac{9}{2} =(a+b+c)^2-\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{2}$

$P_{min}=\dfrac{9}{2}$ khi $(a;b;c)=(0;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2})$ và các hoán vị