Giải thích các bước giải:

a. Vì IQ ⊥ BC mà Q là trung điểm của BC

$\Rightarrow $ IQ là đường trung trực của BC

$\Rightarrow $ BI=CI

Vì IP ⊥ AD mà P là trung điểm của AD

$\Rightarrow$ IP là đường trung trực của AD

$\Rightarrow$ AI=DI

Xét ΔAIB và ΔDIC có:

AI=DI (cmt)

BI=CI (cmt)

AB=DC (giả thiết)

$\Rightarrow$ ΔAIB = ΔDIC (c.c.c) (đpcm)

b. Vì ΔAIB = ΔDIC$\Rightarrow \widehat{ IAB}= \widehat{IDC}$ (hai góc tương ứng) 

mà $\widehat{ IDC} = \widehat{ IAC}$ ( vì tam giác IAD cân tại I)

$\Rightarrow \widehat{IAB}= \widehat{ IAC}$ 

$\Rightarrow $ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm)

c. Xét ΔAIE và ΔAIP có

$\widehat{ AEI}= \widehat{API} =90^o$

AI chung

$\widehat{ IAE}= \widehat{ IAP}$ ( vì AI là tia phân giác góc A)

$\Rightarrow $ ΔAIE = ΔAIP (cạnh huyền - góc nhọn )

$\Rightarrow $ AE=AP (hai cạnh tương ứng)

mà $AP=\dfrac{AD}{2}$ (Vì P là trung điểm AD)

$\Rightarrow  AE=\dfrac{AD}{2}$ (đpcm)