Đáp án + Giải thích các bước giải:

   $(C):y=x^3-6x^2+9x-4$

⇒ $y'=3x^2-12x+9$

$a)$ Tại điểm có hoành độ bằng $4$

Gọi tọa độ tiếp điểm có dạng: $M(4;y_o)$

Mà $M∈(C)$ ⇒ $y_0=4^3-6.4^2+9.4-4=0$

Mặt khác ta có: $y'(x_0)=y'(4)=3.4^2-12.4+9=9$

 Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ là:

    $(Δ):y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$

            $=9(x-4)$

            $=9x-36$

Vậy phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng 4 là: $(Δ):y=9x-36$

$b)$ Tại điểm có tung độ bằng $0$

Gọi tọa độ tiếp điểm có dạng: $M(x_0;0)$

Mà $M∈(C)$ ⇒ $x_0^3-6x_0^2+9x_0-4=0$

                      ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x_0=4\\x_0=1\end{array} \right.\) 

+) Với $x_0=4$

⇒ $y'(4)=9$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ là: $(Δ_1):y=9x-36$

+) Với $x_0=1$

⇒ $y'(1)=3-12+9=0$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ là: $(Δ_2):y=0$

Vậy tại điểm có tung độ bằng 0 ta có 2 phương trình tiếp tuyến của $(C)$: 

$(Δ_1):y=9x-36$

$(Δ_2):y=0$

 $c)$ Tiếp tuyến song song với $(d):y=9x$

Gọi tiếp điểm có dạng: $M(x_0;y_0)$

Vì tiếp tuyến $//$ $(d)$ ⇒ $k_{tt}=k_{d}=9$

Ta có: $y'(x_0)=k_{tt}$

⇒ $3x_0^2-12x_0+9=9$

⇔ $3x_0^2-12x_0=0$

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x_0=4(nhận)\\x_0=0(loại)\end{array} \right.\) 

⇒ $(Δ):y=9x-36$

Vậy phương trình tiếp tuyến của $(C)$ khi biết tiếp tuyến song song với $(d)$ là: $(Δ):y=9x-36$