a) Ta có:

$CA,\, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\, M\quad (gt)$

$\to CA = CM$

$DB,\, DM$ là tiếp tuyếp của $(O)$ tại $B,\, M$

$\to DB = DM$

Do đó:

$AC + BD = CM + DM = CD$

b) Ta có:

$CA = CM$ (câu a)

$OA = OM = R$

$\to OC$ là trung trực của $AM$

$\to OC$ là phân giác của $\widehat{MOA}$

$\to \widehat{MOC}=\dfrac12\widehat{MOA}$

Tương tự, ta được:

$OD$ là trung trực của $BM$

$\widehat{MOD}=\dfrac12\widehat{MOB}$

Do đó:

$\widehat{COD}=\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=\dfrac12(\widehat{MOA}+\widehat{MOB})=90^o$

$\to ∆COD$ vuông tại $O$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆COD$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:

$CM.DM = OM^2 = R^2$

$\to AC.BD = R^2 =\dfrac{AB^2}{4}$

c) Ta có: $OC\perp OD\quad (\widehat{COD}=90^o)$

$BM\perp OD$ ($OD$ là trung trực của $BM$)

$\to OC//BM\quad (\perp OD)$

d) Ta có: $AC//BD\quad (\perp AB)$

$\to ACDB$ là hình thang vuông tại $A,\, B$

Gọi $E$ là trung điểm $CD$

$\to OE =\dfrac12CD$

Lại có: $OA = OB = R$

$\to OE$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$

$\to OE//AC//BD$

Khi đó:

$P_{ACDB}=AC + CD + DB + AB$

$= AB + 2CD = AB + 4OE$

Xét $∆OME$ vuông tại $M$ luôn có:

$OE\geq OM$ (cạnh huyền $\geq$ cạnh góc vuông)

Do đó:

$P_{ACDB}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OE$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow OE= OM$

$\Leftrightarrow OM\perp AB$

$\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn