Giải thích các bước giải:

a, I là trung điểm của OM ⇒ OI = IM = $\frac{OM}{2}$ = $\frac{R}{2}$ 

Ta có: cos$\widehat{COI}$ = $\frac{OI}{OC}$ = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat{COI}$ = $60^{o}$ 

b, ΔCOM có $\widehat{COM}$ = $60^{o}$; OC = OM ⇒ ΔCOM đều

⇒ CM = OM = ME ⇒ ΔCOE vuông tại C hay CE⊥OC

⇒ EC là tiếp tuyến của (O;R) (đpcm)

c, ΔOCD cân tại O có OI là đường cao ⇒ OI cũng là trung tuyến

⇒ CI = ID

Xét ΔIMD và ΔIOC có:

ID = IC; IM = IO; DM = OC = R

⇒ ΔIMD = ΔIOC (c.c.c) ⇒ $\widehat{IDM}$ = $\widehat{ICO}$

⇒ DM ║ CO mà CO ⊥ CE ⇒ DM ⊥ CE (đpcm)

d, Gọi H = OD ∩ (O;R)

Ta có: $\widehat{COI}$ = $60^{o}$ mà OI là phân giác của $\widehat{COD}$ 

⇒ $\widehat{DOI}$ = $60^{o}$ ⇒ $\widehat{COD}$ = $120^{o}$

⇒ $\widehat{COK}$ = $180^{o} - $ $120^{o}$ = $60^{o}$ = $\widehat{COI}$

Xét 2 tam giác vuông ΔCOE và ΔCOK có:

OC chung; $\widehat{COE}$ = $\widehat{COK}$

⇒ ΔCOE = ΔCOK (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒ $S_{OEK}$ = 2.$S_{COE}$ = OC.CE = R.$\sqrt[]{(2R)^{2}-R^{2}}$ = R.R.$\sqrt[]{3}$ 

Mà $S_{OEK}$ = 4$\sqrt[]{3}$ - 6 ⇒ R=$\sqrt[]{3}$ - 1 (đơn vị độ dài).