Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có $MC+MD=CD$

Mà:

$MC=AC$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$MD=BD$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy $AC+BD=CD$

Ta có:

$OM=OA=R$

$CM=CA$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\to OC$ là đường trung trực của $MA$

$\to OC$ là tia phân giác $\widehat{MOA}$

CMTT: $OD$ là tia phân giác $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{MOA}$ và $\widehat{MOB}$ là hai góc kề bù

Nên $\widehat{COD}=90{}^\circ $

 

b)

$\Delta COD$ vuông tại $O$ có $OD$ là đường cao nên:

$O{{M}^{2}}=MC.MD$ (hệ thức lượng)

Mà

$O{{M}^{2}}={{R}^{2}}$

$MC=AC$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$MD=BD$ (t.c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy $AC.BD={{R}^{2}}$

 

c)

Vì $OC$ là đường trung trực của $MA$

Mà $OC$ cắt $MA$ tại $E$

$\to E$ là trung điểm $MA$

CMTT: $F$ là trung điểm $MB$

$\Delta MAB$ có $E,F$ lần lượt là trung điểm $MA,MB$

Nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta MAB$

Do đó $EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.10=5\left( cm \right)$

 

1. d)

Áp dụng bất đẳng thức $\operatorname{Cos}i$ ta có:

$M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}\ge 2MC.MD$

$M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}+2MC.MD\ge 4MC.MD$

${{\left( MC+MD \right)}^{2}}\ge 4{{R}^{2}}$

$C{{D}^{2}}\ge 4{{R}^{2}}\left( =const \right)$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $MC=MD$

Hay $M$ là trung điểm $CD$

Vậy $M$ nằm trên nữa đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $M$ là trung điểm $CD$ thì $CD$ nhỏ nhất

Hay ta có thể nói cách khác là M là điểm chính giữa của nữa đường tròn $\left(O\right)$

a) Ta có:

$CA;\, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, M\quad (gt)$

$\to CA = CM$

Lại có:

$OA = OM = R$

$\to OC$ là trung trực của $AM$

$\to OC$ là phân giác của $\widehat{AOM}$

$\to \widehat{MOC}=\dfrac12\widehat{MOA}$

Chứng minh tương tự ta được:

$DB = DM$

$OD$ là trung trực của $BM$

$\widehat{MOD}=\dfrac12\widehat{MOB}$

Do đó:

$+)\quad AC + BD = CM + MD = CD$

$+)\quad \widehat{COD}=\widehat{MOC}+\widehat{MOD}$

$=\dfrac12(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}$

$=\dfrac12\widehat{AOB}=90^\circ$

b) Ta có: $\widehat{COD}=90^\circ$

$\to ∆COD$ vuông tại $O$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆COD$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:

$OM^2 = CM.DM$

$\to R^2 = AC.BD$

c) Ta có:

$OC$ là trung trực của $AM$ (câu a)

$OC\cap AM=\{E\}\quad (gt)$

$\to \widehat{MEO}=90^\circ$

Tương tự ta được: $\widehat{MFO}=90^\circ$

Xét tứ giác $MEOF$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{EMF}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{MEO}=\widehat{MFO}=90^\circ$

Do đó $MEOF$ là hình chữ nhật

$\to EF = OM = R =\dfrac12AB = 5\, cm$

d) Ta có:

$AC\perp AB\quad (gt)$

$BD\perp AB\quad (gt)$

$\to ABDC$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$

Gọi $E$ là trung điểm $CD$

$\to OE$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$

$\to \begin{cases}OE=\dfrac12(AC + BD)\\OE//AC//BD\end{cases}$

$\to \begin{cases}OE=\dfrac12CD\\OE\perp AB\end{cases}$

$\to CD \min \to OE\min$

Xét $∆MEO$ vuông tại $M$ luôn có:

$OE\geq OM$ (cạnh huyền $\geq$ cạnh góc vuông)

$\to OE \min = OM$

$\to E\equiv M$

$\to OM\perp AB$

$\to M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn