Xét tam giác AOB và tam giác COE, có:

+ AB = CE (gt)

+ OB = OC (O thuộc trung trực của BE)

+ AO = CO (O thuộc trung trực của AC)

=> Tam giác AOB = Tam giác COE (c.c.c)

=> $\widehat{OAB} = \widehat{OCE}$ ( 2 góc tương ứng ) {1}

Lại có: AO = OC ( CMT )

=> Tam giác AOC cân tại O ( Định nghĩa tam giác cân )

=> $\widehat{OAC} = \widehat{ACO}$ ( Tính chất tam giác cân ) {2}

Từ {1} và {2} => $\widehat{OAB} = \widehat{OAC}$

Hay AO là phân giác của $\widehat{BAC}$.

Do $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$ nên $\widehat{OAC} = 45^{\circ}$ và $\widehat{OCA} = 45^{\circ}$

Vậy tam giác OAC vuông cân tại O.

Áp dụng Pytago ta có

$OA^2 + OC^2 = AC^2$

$ 2OA^2 = AC^2$

$ AC = OA \sqrt{2}$.

Vậy ta có $AC = OA \sqrt{2}$.