Giải thích các bước giải:

a. Vì 2AM=AB (M là trung điểm AB)

2AN=AC (N là trung điểm AC)

AB=AC -> AM=AN

Vì P,N là trung điểm BC,AC

-> PN là đường trung bình

-> PN//AB, 2PN=AB

-> PN//AM, PN=AM

-> AMPN là hình bình hành 

mà AM=AN

-> AMPN là hình thoi

b. Tam giác ABC cân ở A có AP là đường trung tuyến -> AP là đường cao

Vì K là điểm đối xứng của P qua N 

-> N là trung điểm PK mà N là trung điểm AC

-> AKCP là hình bình hành

mà góc APC = 90

-> AKCP là hình chữ nhật -> AK=PC

Vì AMPN là hình thoi mà O là giao điểm 2 đường chéo -> O là trung điểm AP,MN

Xét ΔAKO và ΔPCO có: 

góc OAK= góc OPC

AK=PC

OA=OC

-> ΔAKO = ΔPCO (c.g.c)

-> góc AOK = góc POC

Tam giác OBC có OP là đường cao, đường trung tuyến

-> tam giác OBC cân tại O -> OP là đường phân giác -> góc BOP = góc COP 

mà góc COP = góc AOK 

-> góc AOK = góc BOP 

mà AOK + góc KOP =180

-> góc BOP + góc KOP =180

<-> góc KOB =180

-> B,O,K thẳng hàng (đpcm)
c. Xét tam giác APK có

đường trung tuyến KO, AN mà D là giao của KO,AN

-> D là trọng tâm của tam giác APK

-> AD=$\frac{2}{3}$ AN =$\frac{2}{3}$ . $\frac{1}{2}$ AC= $\frac{1}{3}$ AB

<-> AB=3AD (đpcm)