$\\$

$a,$

Tứ giác $ADME$ có :

$\widehat{A}=90^o$ (gt)

$\widehat{ADM}=90^o(MD\bot AB)$

$\widehat{AEM}=90^o(ME\bot AC)$

$\Rightarrow ADME$ là hình chữ nhật

$b,$

$ADME$ là hình chữ nhật (cmt), $DE$ và $AM$ là 2 đường chéo

$\Rightarrow AM=DE$

$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có :

$AM$ là đường trung tuyến (gt)

$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC$

$c,$

$MP=\dfrac{1}{2}BM, MQ=\dfrac{1}{2}BM\\\Rightarrow MP + MQ = \dfrac{1}{2}BC$

Mà $DE=\dfrac{1}{2}BC$ (cmt)

$\Rightarrow DE=PQ$

$\triangle BDM$ vuông tại $D$ có :

$DP$ là đường trung tuyến (gt)

$\Rightarrow DP=\dfrac{1}{2}BM$

$\triangle MEC$ vuông tại $E$ có :

$EQ$ là đường trung tuyến (gt)

$\Rightarrow EQ=\dfrac{1}{2}CM$

Do đó : $DP=EQ$

Tứ giác $DPQE$ có :

$DP=QE, DE=PQ$ (cmt)

$\Rightarrow DPQE$ là hình bình hành

Gọi $O$ là tâm đối xứng hình bình hành $DPQE$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $PE,QD$

$\triangle PEQ$ có :

$O$ là trung điểm của $PE$ (cmt)

$M$ là trung điểm của $PQ(PM=MQ=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}CM$)

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của $\triangle PQE$

$\Rightarrow OM//QE(1)$

$AM=\dfrac{1}{2}BC, CM=\dfrac{1}{2}BC$ (cmt, gt)

$\Rightarrow AM=CM$

$\Rightarrow \triangle AMC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

$EQ=\dfrac{1}{2}CM, CQ=\dfrac{1}{2}CM$ (cmt, gt)

$\Rightarrow EQ=CQ$

$\Rightarrow \triangle QEC$ cân tại $Q$

$\Rightarrow \widehat{QEC}=\widehat{MCA}$

Do đó : $\widehat{MAC}=\widehat{QCE}$

$\Rightarrow AM//QE(2)$

$(1)(2)\Rightarrow A,O,M$ thẳng hàng

Hay tâm đối xứng hình bình hành $DPQE$ nằm trên $AM$

$d,$

$DPQE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{EDP}=\widehat{DPQ}=\widehat{PQE}=\widehat{QED}=90^o$

$\widehat{DPQ}=90^o\Rightarrow \widehat{DPB}=90^o$

$DP=\dfrac{1}{2}BM, BP=\dfrac{1}{2}BM$

$\Rightarrow DP=BP$

$\Rightarrow \triangle DPB$ vuông cân tại $P$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=45^o(3)$

$\widehat{PQE}=90^o\Rightarrow \widehat{EQC}=90^o$

$\Rightarrow \triangle QEC$ vuông cân tại $Q$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=45^o(4)$

$(3)(4)\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$

Vậy $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ để $DPQE$ là hình chữ nhật