Đáp án:

a) Xét tam giác ABO vuông tại B (do AB là tiếp tuyến của (O))

Theo Pytago ta có:

$\begin{array}{l}
O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\\
 \Rightarrow A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\
 \Rightarrow AB = \sqrt {16}  = 4\left( {cm} \right)
\end{array}$

Vậy $AB=4$ cm

b)

Xét $ΔOAB$ và $ΔOAC$ vuông tại $B$ và $C$ có:

+) $OB=OC$

+) $OA$ chung

$\Rightarrow ΔOAB=ΔOAC$

$\Rightarrow \widehat{ AOB} = \widehat{AOC}$

Xét $ΔOBC$ cân tại $O$ có $OA$ là đường phân giác $\widehat{O}$

$\Rightarrow OA$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến

$\Rightarrow OA$ là đường trung trực đoạn $BC$

c)Gọi $H$ là giao của $OA$ và $BC \Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$, $AH⊥BC$

Xét $ΔOAB$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao

$\begin{array}{l}
 + )A{B^2} = AH.AO\\
 \Rightarrow AH = \frac{{A{B^2}}}{{AO}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}\left( {cm} \right)\\
 + )\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}\\
 \Rightarrow BH = \frac{{12}}{5}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow BC = \frac{{24}}{5}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{16}}{5}.\frac{{24}}{5} = 7,68\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$