Đáp án:

\(\dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}\).

Giải thích các bước giải:

Trong (SBC) kẻ MN // SB \(\left( {N \in SC} \right)\).

Trong (SAC) kẻ \(NE\parallel SA\,\,\left( {E \in AC} \right)\).

Trong (ABCD) nối ME cắt AD tại Q.

Trong (SAD) kẻ PQ // SA \(\left( {P \in SD} \right)\).

=> Thiết diện: MNPQ.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có

\(\dfrac{{NE}}{{SA}} = \dfrac{{CN}}{{CS}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}\)

\( \Rightarrow ME\parallel AB \Rightarrow MQ\parallel AB\parallel CD\).

Tương tự:

\(\dfrac{{PQ}}{{SA}} = \dfrac{{DQ}}{{DA}} = \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{CN}}{{CS}}\)

\( \Rightarrow NP\parallel CD\)

\( \Rightarrow MQ\parallel CD\) nên MNPQ là hình thang.

Ta có:

\(\dfrac{{MN}}{{SB}} = \dfrac{{CM}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{a} = \dfrac{{a - x}}{a} \Rightarrow MN = a - x\)

\(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel CD\\QD\parallel MC\end{array} \right. \Rightarrow MCDQ\) là hình bình hành \( \Rightarrow MQ = CD = a\).

\(\dfrac{{NP}}{{CD}} = \dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{NP}}{a} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow NP = x\).

\(\dfrac{{PQ}}{{SA}} = \dfrac{{DQ}}{{DA}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{a} = \dfrac{{a - x}}{a} \Rightarrow PQ = a - x\)

\( \Rightarrow MN = PQ = a - x\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx\,\,\left( {\parallel BC\parallel AD} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = MN\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = PQ\end{array}\)

\( \Rightarrow Sx,\,\,MN,\,\,PQ\) hoặc song song, hoặc đồng quy.

Trong (SBC) có \(MN\parallel SB\), mà \(SB\) cắt \(Sx \Rightarrow MN\) cắt \(Sx\).

\( \Rightarrow Sx,\,\,MN,\,\,PQ\) đồng quy.

Do đó \(MNPQ\) là hình thang cân.

Kẻ NH, PK cùng vuông góc với MQ, dễ dàng chứng minh được NPKH là hình chữ nhật \( \Rightarrow HK = NP = x\).

\({\Delta _v}MNH = {\Delta _v}QPK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow MH = KQ\)

\( \Rightarrow MH = KQ = \dfrac{{MQ - NP}}{2} = \dfrac{{a - x}}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNH có;

\(\begin{array}{l}NH = \sqrt {M{N^2} - M{H^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a - x}}{2}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a - x} \right)\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {Do\,\,a - x > 0} \right)\end{array}\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {NP + MQ} \right).NH}}{2}\)

\( = \dfrac{{\left( {x + a} \right).\left( {a - x} \right)\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2} = \dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}\).