Đáp án:

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Giải thích các bước giải:

Đặt $a=\sqrt[3]{x}$ $b=\sqrt[3]{y}$, c=$\sqrt[3]{z}$. Từ đó ta có $abc=1$

Bất đẳng thức trở thành $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1} \le 1$ 

Đây là bài BĐT Thi HSG lớp 9 của Hà Nội năm 2009-2010.

Ta có $a^3+b^3-a^2b-ab^2=(a-b)(a+b)^2 \ge 0$. (do a,b,c >0 từ x,y,z >0)

Suy ra $a^3+b^3 \ge ab(a+b) \Rightarrow 1+a^3+b^3 \ge abc+ab(a+b)$ (do $abc=1$)

Tương tự $b^3+c^3+1 \ge abc+bc(b+c)$, $1+c^3+a^3 \ge abc+ca(c+a)$

Do đó

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ca(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1 \Leftrightarrow x=y=z=1$

Giả sử `x\ge y\ge z`

`⇔1=xyz\ge yz⇔yz\le 1⇔z^2\le 1⇔z\le 1`

`⇔1/z\ge 1/y\ge 1/x\ge 1`

`A=1/(x+y+1)+1/(y+z+1)+1/(z+x+1)`

`A\le 3/(z+x+1)`

`A\le 3/(1+1+1)=1`

Dấu `=` xảy ra $\begin{cases}xyz=1\\x=y=z=1\end{cases}$

Vậy BĐT được CM