~ gửi bạn ~

Giải thích các bước giải:

`1)` `(`Hình vẽ: thứ `3` `)`

Trên cạnh `AB` lấy điểm `F` sao cho `DF = DC.` Kẻ `FH ⊥ CD.`
Tứ giác `AFHD` là hình chữ nhật `(`vì `hat(A) = hat(D) = hat(H) = 90^0 )`

Vì `ABCD` là hình chữ nhật 

`=> AB = CD`

mà: `AB = 2.AD ` `(`gt`)`

`=> DF = 2.FH`

`•``△ DFH` vuông tại `H` có `DF = 2.FH` 

`=> hat(FDH)= 30^0`

`•``△ CDF` cân tại `D `

`=> hat(FCD)= 75^0`
Vì `hat(ADE) = 15^0 => hat(EDC) = 75^0` 

`•`Tứ giác `EFCD` có $EF // CD$

                              `hat(EDC) = hat(FCD)= 75^0`

`=> EFCD` là hình thang cân

`=> CE = DF`

mà: `DF = DC`

`=> CE = DC`

`=> △CDE` cân  tại `C` có `hat(EDC) = 75^0`

`=> hat(ECD) = 30^0`
-------------------
`2)` `(` Hình vẽ: thứ `1` `)`
Kẻ đường cao `AE` của `△ABC` cắt đường cao `BH` tại điểm `F`
`=> F` là trực tâm của `△ABC`
`CF` là đường cao của `△ABC` hay `CF ⊥ AB`
Có: $AF // DC$ `(⊥ BC)` , $ CF // DA$ `(⊥ AB)`

`=> AFCD` là hình bình hành
`=>` $\begin{cases} AF//CD\\AF = CD \end{cases}$

`=> hat(FAH) = hat(DCK)` `(`so le trong`)`

`=> △FAH = △DCK` `(ch.gn)`
`=> AH = CK`

`=> AK = CH`

-------------------
`3)` `(` Hình vẽ: thứ `2` `)`
Vì `AB < AC` nên trên cạnh `AC` tồn tại điểm `G` sao cho `CG = AB`

Gọi `M` và `Q` thứ tự là trung điểm của `BC` và `AQ`
Vì `BD = CE =>` Khi `D ≡ B` thì `E≡ C` và `F≡M`
Vì `BD = CE  =>` Khi `D≡A` thì `E≡ G` và `F≡Q`
Vì `△ABC` cố định nên đoạn thẳng `MQ` cố định
Ta chứng minh điểm `F ∈ MQ`. Thật vậy :
Gọi `N` và `P` thứ tự là trung điểm của `BE` và `BG`
`=> MN` là đường trung bình của `△BCE`

`=> MP` là đường trung bình của `△BCG`
`=>` $\begin{cases} MN//CE, MN = \dfrac{CE}{2}\\MP//CG, MP =\dfrac{CG}{2} \end{cases}$
Vì `3` điểm `C, E, G` thẳng hàng `=>` `3` điểm `M, N, P` thẳng hàng
Có: `NF` là đường trung bình của `△BED` ; `PQ` là đường trung bình của `△BGA`
`=>` $\begin{cases} NF//BD, NF = \dfrac{BD}{2}\\PQ//AB, PQ =\dfrac{AB}{2} \end{cases}$
mà: `BD = CE, AB = CG` nên `MN = NF, MP = PQ` và $NF // PQ$

`=> △MNF` cân tại `N`, `△MPQ` cân tại `P` và `hat(MNF)=hat(MPQ)`

`=> hat(NMF) = hat(PMQ)` 

mà: `3` điểm `M, N, P` thẳng hàng nên `3` điểm `M, F, Q` thẳng hàng

Vậy trung điểm `F` của `DE` thuộc đoạn thẳng `MQ` cố định.