Giải thích các bước giải:

 a,

Gọi N là trung điểm của BC

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên A,G,N thẳng hàng và \(\frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)

Theo giả thiết \(AM = 2BM \Rightarrow AM = \frac{2}{3}AB\)

Tam giác ABN có \(\frac{{AG}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) nên \(MG//BN\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
MG//BN\\
BN \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow MG//\left( {SBC} \right)\)

b,

Trong mp (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SA cắt SB tại I

Kéo dài MG cắt AC tại P

Trong mp(SAC), qua P kẻ đường thẳng song song với SA cắt SC tại K

Ta có:

\(\begin{array}{l}
MI//SA \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\\
MP//BC \Rightarrow \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\\
PK//SA \Rightarrow \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{SK}}{{SC}} = \frac{2}{3}
\end{array}\)

Tam giác SBC có \(\frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) nên \(IK//BC \Rightarrow \frac{{IK}}{{BC}} = \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{2}{3}\)