Đáp án:

 Các số cần tìm là $1, 3, 5, 7, 9$.

Giải thích các bước giải:

Gọi số hạng nhỏ nhất là $u$ và công sai là $d$. Khi đó 5 số hạng đó là $a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d$.

Do tổng 5 số hạng bằng 25 nên ta có

$a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 25$

$\Leftrightarrow 5a + 10d = 25$

$\Leftrightarrow a + 2d = 5$

$\Leftrightarrow a = 5 - 2d$     $(1)$

Lại có tổng bình phương của chúng bằng $165$ nên ta có

$a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 + (a + 3d)^2 + (a + 4d)^2 = 165$     $(2)$

Thế $(1)$ vào $(2)$ ta thu được

$(5-2d)^2 + (5-d)^2 + 5^2 + (5 + d)^2 + (5 + 2d)^2 = 165$

$\Leftrightarrow 10d^2 + 25 . 5 = 165$

$\Leftrightarrow 10d^2 = 40$

$\Leftrightarrow d^2 = 4$

$\Leftrightarrow d = \pm 2$

Với $d = -2$, ta có $a = 9$. Với $d = 2$, ta có $a = 1$.

Vậy $5$ số cần tìm là $1, 3, 5, 7, 9$.