a.) Ta có: BN = $\frac{1}{2}$.AC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Hay BN = AN = NC (1)

Mặt khác: N là trung điểm của BI (gt)

⇒ BN = NI (2)

 Từ (1)(2) ⇒ BN = NI = AN = NC

Xét tứ giác ABCI có : BN = NI = AN = NC

⇒ 2 đường chéo AC và BI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

⇒ Tứ giác ABCI là hình bình hành.

Mặt khác ta lại có $\widehat{ABC}$ = 90° (ΔABC vuông tại B, gt)

Do đó tứ giác ABCI là hình chữ nhật (đpcm)

b.) Vì ABCI là hình chữ nhật (cmt)

Nên ta có: AI = BC và AI // BC

Mặt khác: DB = BC (D là điểm đối xứng của C qua B, gt)

⇒ AI = DB và AI // DB

Xét tứ giác ADBI có: 

$\left \{ {{AI = DB} \atop {AI // DB}} \right.$ ⇒ Tứ giác ADBI là hình bình hành (đpcm)

c.) Vì tứ giác ABCI là hình chữ nhật (cm câu a)

Nên : NA = NB (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . Ở đây là N)

⇒ Xét ΔNAB có NA = NB do đó ΔNAB là tam giác cân.

Chiếu N xuống AB thu được điểm K

⇒ K chính là trung điểm của AB (tính chất đường cao, đường trung trực, trung tuyến trong tam giác cân)

Mặt khác tứ giác ADBI là hình bình hành (cm câu b) 

⇒ 2 đường chéo AB và DI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

Mà K là trung điểm của AB (cmt)

Do đó K cũng là trung điểm của DI (đpcm)