Bài 3:

a.

Ta có `M` là trung điểm `AH` 

`N` là trung điểm `BH`

`=> MN` là đường trung bình của tam giác `ABH`

`=> MN //// AB, \quad MN = 1/2AB`

`=> đpcm`

b.

Ta có `MN //// AB \quad (cmt)`

`AB //// CD` (tính chất hình chữ nhật)

`=> MN //// CD ////  DE \qquad (1)`

`MN = 1/2AB (cmt)1

`=> MN = 1/2AB = 1/2CD = DE` (vì `E` là trung điểm `CD => DE = EC = 1/2DC`) `\qquad (2)`

Từ 1 và 2 `=> MNED` là hình bình hành

c.

Ta có `MN////AB`

`=> MN ⊥ BC`

`=> N` là trực tâm của tam giác `MBC`

`=> CN ⊥ MB`

Ta có `MN //// CD, \quad MN = 1/2CD`

Mặc khác `EC = 1/2CD`

`=> MN //// EC, \quad MN = EC`

`=> MNEC` là hình bình hành

`=> ME //// NC`

Mà `CN ⊥ MB`

`=> ME ⊥ MB`

Hay tam giác `BME` vuông tại `M`

Bài 4:

Đặt `A= 8-2x^2 -y^2 +2xy -4y`

Ta có

`A = -(-2xy+y^2 + 2x^2 - 8 +4y)`

`A = -(-2xy +y^2 + x^2 + x^2 - 4+4 -16 + 4y -4x +4x)`

`A = -[(x^2 -2xy +y^2) -4(x-y)+4+(x^2 + 4x +4) -16]`

`A = -[(x-y-2)^2 +(x+2)^2 -16]`

`A = -(x-y-2)^2 -(x+2)^2 -16 <=16`

Vậy `max A = 16`

Dấu bằng xảy ra khi:

\(\left[ \begin{array}{l}x-2=0\\x-y-2=0\end{array} \right.\)

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\y=0\end{array} \right.\) 

 

Bài 3:

a, Xét ΔABC có:$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm của AH}\\ \text{N là trung điểm của BH} \end{matrix}\right\}$

  ⇒MN là đường trung bình của ΔABC

⇒MN//AB

b, Vì MN là đg tb của ΔABC⇒ MN=$\frac{1}{2}$ AB

                         Vì t/g ABCD là hcn⇒AB=CD

$\left.\begin{matrix} \text{⇒MN=$\frac{1}{2}$ CD}\\ \text{Vì E là tđ của CD⇒DE=$\frac{1}{2}$ CD} \end{matrix}\right\}$

⇒MN=DE

$\left.\begin{matrix} \text{Vì t/g ABCD là hcn⇒ AB//CD}\\Mà MN//AB \end{matrix}\right\}$

⇒MN//CD hay MN//DE

Xét t/g MNED có: $\left.\begin{matrix} MN=DE\\ MN//DE \end{matrix}\right\}$

⇒T/g MNED là hbh (đ/n)