Đáp án:

c) AB=AC=BC=6cm

=> AM=MC=AC/2=3cm

Xét tam giác ABM vuông tại M, theo Pytago:

$\begin{array}{l}
B{M^2} = A{B^2} - A{M^2} = {6^2} - {3^2} = 27\\
 \Rightarrow BM = \sqrt {27}  = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)
\end{array}$

Tam giác ABN vuông tại A có AM là đường cao nên:

$\begin{array}{l}
A{M^2} = BM.MN\\
 \Rightarrow MN = \frac{{A{M^2}}}{{BM}} = \frac{{{3^2}}}{{3\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)
\end{array}$

d)

TA có: góc NBC= góc NBA = 60/2= 30 độ

Lại có góc NEB= 90- góc ABE= 90-60=30

=> Tam giác NBC = tam giác NEC (c-g-c)

=> BC=EC

=> C là trung điểm của BE

e)

Xét tam giác ABE có 2 đường trung tuyến AC và BK cắt nhau tại P

=> P là trọng tâm 

=> EP là đường trung tuyến thứ 3

=> EP đi qua trung điểm Q của AB

=> E,P,Q thẳng hàng

Đáp án: c) Ta có ΔABC đều ⇒ AB = AC = BC = 6cm

Lại có BM là đường cao nên cũng là đường trung trực của cạnh AC trong ΔABC 

⇒ AM = MC = 1/2 AC = 1/2 X 6 = 3cm

Xét ΔABM vuông tại M 

Áp dụng định lý Py - ta - go :

AB² = AM² + BM²

hay  6² = 3² + BM²

⇒ BM² = 6² - 3² = 27

⇒ BM = √27 = 3√3cm

Xét ΔABN vuông tại A và AM ⊥ BN

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông :

AM² = BM x MN 

hay 3² = 3√3 x MN 

⇒ MN = √3cm

d) Xét ΔABC đều ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = 60 đ

Xét ΔABE vuông tại A có ∠B = 60đ

⇒ ∠AEB = 90 - ∠B = 30đ (1)

Ta có ∠BAC + ∠EAC = ∠EAB = 90 đ

mà ∠BAC = 60đ

⇒ ∠EAC = 90 - ∠BAC = 90 - 60 = 30 đ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠AEB = ∠EAC = 30đ

hay ∠CEA = ∠CAE ⇒ ΔCAE cân tại C

⇒ AC = EC (3)

Lại có AC = BC ( ΔABC đều ) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ EC = BC 

⇒ C là trung điểm của BE

e ) Xét Δ ABE có :

Đường trung tuyến BE cắt đường trung tuyến AC ( Do K là trung điểm của AE , C là trung điểm của BE chứng minh phần d ) tại điểm P ⇒ P là trọng tâm của ΔABE

Lại có EQ là đường trung tuyến thứ 3 của ΔABE nên EQ phải đi qua P ⇒ E, P , Q thẳng hàng.

 

Giải thích các bước giải: