Lời giải:

$A(1;2;-2),\quad (\alpha): x + 2y - 2z + 1 = 0$

1) $(d)\perp (\alpha)$

$\Rightarrow (d)$ nhận VTPT $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)$ của $(\alpha)$ làm VTCP

Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A(1;2;-2)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)$ làm VTCP có dạng:

$(d): \begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = -2 - 2t\end{cases}\quad (t \in \Bbb R)$

2) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(\alpha)$

$\Rightarrow H$ là giao điểm giữa $(d)$ và $(\alpha)$

Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ:

$\quad \begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = -2 - 2t\\x + 2y - 2z + 1 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow (1+t) + 2(2+2t) - 2(-2-2t) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 9t + 10 =0$

$\Leftrightarrow t = -\dfrac{10}{9}$

$\Rightarrow H\left(-\dfrac19;-\dfrac29;\dfrac29\right)$

$A'$ đối xứng $A$ qua $(\alpha)$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $AA'$

$\Rightarrow \begin{cases}x_{A'} = 2x_H - x_A\\y_{A'} = 2y_H - y_A\\z_{A'} = 2z_H - z_A\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}x_{A'} = 2\cdot \left(-\dfrac19\right) - 1 = -\dfrac{11}{9}\\y_{A'} = 2\cdot \left(-\dfrac29\right) - 2 = -\dfrac{22}{9}\\z_{A'} = 2\cdot \dfrac29 - (-2) = \dfrac{22}{9}\end{cases}$

Vậy $A'\left(-\dfrac{11}{9};-\dfrac{22}{9};\dfrac{22}{9}\right)$