Đáp án:

\(\begin{array}{l}
\omega  = {\omega _o}\frac{{M - 3m}}{{M + 3m}} = \sqrt {\frac{{3g}}{l}} .\frac{{M - 3m}}{{M + 3m}}\\
v = 2{\omega _o}l\frac{M}{{M + 3m}} = 2.\sqrt {\frac{{3g}}{l}} \frac{{Ml}}{{M + 3m}}
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

Momen quán tính của thanh đối với tâm quay O là:

\[{I_o} = \frac{1}{{12}}M{l^2} + M{\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = \frac{1}{3}M{l^2}\]

Áp dụng đinh luật bảo toàn cơ năng cho thanh khi thanh rơi xuống ta có:

\[\frac{1}{2}{I_o}{\omega ^2} = Mg\frac{l}{2} \Rightarrow {\omega _o} = \sqrt {\frac{{3g}}{l}} \]

Sau khi va chạm, vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên áp dụng định luật bảo toàn cơ năng và định luật bảo toàn mô men động lượng ta có:

Gọi \(\omega \) tốc độ góc của thanh sau va chạm.

       v là vận tốc của vật nhỏ sau va chạm.

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{I_o}{\omega _o} = mvl + {I_o}\omega \\
\frac{1}{2}{I_o}{\omega _o}^2 = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}{I_o}{\omega ^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\omega _o} = \omega  + \frac{{3m}}{M}.\frac{v}{l}\\
{\omega _o}^2 = {\omega ^2} + \frac{{3m}}{M}.\frac{{{v^2}}}{{{l^2}}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\omega _o} - \omega  = \frac{{3m}}{M}.\frac{v}{l}\\
{\omega _o} + \omega  = \frac{v}{l}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\omega  = {\omega _o}\frac{{M - 3m}}{{M + 3m}} = \sqrt {\frac{{3g}}{l}} .\frac{{M - 3m}}{{M + 3m}}\\
v = 2{\omega _o}l\frac{M}{{M + 3m}} = 2.\sqrt {\frac{{3g}}{l}} \frac{{Ml}}{{M + 3m}}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Với \(M > 3m\) thì thanh sẽ tiếp tục quay theo chiều như cũ, với vận tốc được tính như trên.

Với \(M < 3m\) thì thanh sẽ bị bật ngược lại và quay ngược lại phía chuyển động ban đầu.

Với \(M = 3m\) thì sau va chạm thanh sẽ đứng lại ngay lập tức.