Câu 12:

a) Xét $\Delta$ vuông $ BDC$ và $\Delta$ vuông $CEB$ có:

$BC$ chung

$\widehat{DCB}=\widehat{EBC}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\Rightarrow \Delta$ vuông $ BDC=\Delta$ vuông $CEB$ (ch-gn) (đpcm)

b) $\Delta  BDC=\Delta CEB\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{DBC}=\widehat{ACB}-\widehat{ECB}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

Hay $\widehat{IBE}=\widehat{ICD}$ (đpcm)

c) $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

$\Rightarrow\Delta IBC$ cân đỉnh $I\Rightarrow IB=IC\Rightarrow I$ thuộc đường trung trực của BC

$AB=AC\Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow AI$ là đường trung trực của BC $\Rightarrow AI\bot BC$ mà $AI$ cắt $ BC$ tại $ H$

$\Rightarrow AI\bot BC\equiv H$ (đpcm)

Câu 13:

a) Xét $\Delta$ vuông $BAH$ và $\Delta CAH$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$AH$ chung

$\Rightarrow\Delta BAH=\Delta CAH$ (ch-cgv)

$\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương ứng) (đpcm)

b) $\Delta BAH=\Delta CAH\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{8}{2}=4$ cm (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $AHC$ có:

$AC^2=AH^2+HC^2=3^2+4^2=25\Rightarrow AC=5$ cm

c) Xét $\Delta$ vuông $EBH$ và $\Delta$ vuông  $DCH$ có:

$BH=CH$ (cmt)

$\widehat{EBH}=\widehat{DCH}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\Rightarrow\Delta EBH=\Delta DCH$ (ch-gn)

$\Rightarrow BE=CD$

mà $AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\Rightarrow AB-BE=AC-CD\Rightarrow AE=AD$ (đpcm)

d) $\Delta ADE$ cân đỉnh A (do $AE=AD$ cmt)

$\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABE}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $ED//BC$ (đpcm)