Đáp án:

a) Tam giác OMN cân tại O nên OK là đường cao đồng thời là đường phân giác và trung tuyến

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MK = KN = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\\
\widehat {MOK} = \dfrac{1}{2}\widehat {MON}
\end{array} \right.\\
Trong:\Delta MOK \bot K\\
Theo\,Pytago:O{M^2} = M{K^2} + O{K^2}\\
 \Rightarrow O{K^2} = {R^2} - {\left( {\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{R^2}}}{4}\\
 \Rightarrow OK = \dfrac{R}{2}\\
b)Trong:\Delta MOK:\\
 \Rightarrow cos\widehat {MOK} = \dfrac{{OK}}{{MO}} = \dfrac{{\dfrac{R}{2}}}{R} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \widehat {MOK} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {MON} = {120^0}\\
c)\widehat {MON} = {120^0}\\
 \Rightarrow sd\,cung\,MN\,nhỏ:{120^0}\\
 \Rightarrow sd\,cung\,MN\,lớn:{240^0}
\end{array}$