a) Xét $(O,R)$ đường kính $BC$ có

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o$

Tứ giác $AFHE$ có $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=180^o$

`=>AEFH` thuộc đường tròn đường kính `(AH)`

Tâm `I` là trung điểm của ` AH`.

b) Xét `ΔAHE` và `ΔBHD` có:

 $\widehat{AEH}=\widehat{ BDH}=90^o$

$\widehat{ AHE}=\widehat{ BHD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ΔAHE\simΔBHD$ (g-g)

$\Rightarrow\dfrac{HE}{HD}= \dfrac{HA}{HB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) 

Mà $HA=2HI$

`=> HE.HB=2HD.HI`

c) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$ chứng minh câu a

$\Rightarrow IE=IH=R\Rightarrow\Delta IEH$ cân đỉnh $I$

$\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IHE}$

$\widehat{IHE}=\widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

Từ hai điều trên $\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{BHD}$

$\widehat{HEO}=\widehat{HBD}$ (do $\Delta OEB$ cân đỉnh O)

$\Rightarrow\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{HEO}=\widehat{BHD}+\widehat{HBD}=90^o$ (do $\Delta DHB\bot D$)

$\Rightarrow IE\bot EO\Rightarrow IE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Chứng minh tương tự

$\widehat{IFH}=\widehat{IHF}=\widehat{DHC}$

$\widehat{HFO}=\widehat{OCH}$

$\Rightarrow\widehat{IFO}=\widehat{DHC}+\widehat{OCH}=90^o$

$\Rightarrow IF\bot FO\Rightarrow IF$ là tiếp tuyến của $(O)$