Giải thích các bước giải:

a.Vì $AM\perp BC, CI\cap AD, CI\cap AM=N\rightarrow N$ là trực tâm $\Delta ADC\rightarrow DN\cap AC$

b.Vì $\widehat{BAC}=45^o,\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow \Delta ABM$ vuông cân tại M

$\rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại A 

$\rightarrow AB=AC$

mà $\widehat{BAH}=\widehat{ACI}(+\widehat{DAC}=90^o),\widehat{AHB}=\widehat{AIC}=90^o$

$\rightarrow\Delta ABH=\Delta CAI(g.c.g)$

$\rightarrow BH=AI\rightarrow BH^2+CI^2=AI^2+CI^2=AC^2=AB^2=2BM^2=\dfrac{BC^2}{2}=const$

c.Ta có : 

$\widehat{AIC}=\widehat{NMC}=90^o\rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{NCM}$

$\rightarrow\Delta AIN\sim\Delta CMN(g.g)\rightarrow\dfrac{AN}{CN}=\dfrac{IN}{MN}$

$\rightarrow\Delta NIM\sim\Delta NAC(c.g.c)\rightarrow\widehat{MIN}=\widehat{NAC}=45^o$

Mà $CI\perp ID\rightarrow IM$ là phân giác $\widehat{CIH}\rightarrow $Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm M cố định